Définition de la forme exponentielle d'un nombre complexe

Proposition et définition

Soit  \(z \in \mathbb{C}^\ast\) .
On note \(r= \left\vert z \right\vert\) et \(\theta\) un argument de \(z\) . On a alors : \(z=r \text e^{i\theta}\) .
Cette écriture est appelée forme exponentielle de \(z\) .

Démonstration

Le nombre complexe  \(z\) a pour forme trigonométrique : \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) .
Par définition de \(\text e^{i\theta}\) , on en déduit que \(z=r\text e^{i\theta}\) .

Remarque

La forme exponentielle d'un nombre complexe  \(z\) d'argument  \(\theta\) n'est « pas unique »,  car tous les réels de la forme \(\theta+k \times 2\pi\) , avec \(k \in \mathbb{Z}\) , sont d'autres arguments de  \(z\) . Cependant, la valeur de \(\cos(\theta)\) et de \(\sin(\theta)\) ne change pas malgré le changement d'argument (ce qui revient à dire que la forme algébrique est unique).